三体、蝴蝶效应……它们共同构成了模糊而混乱的混沌现象

20世纪60年代，美国数学家斯梅尔在研究典型电路性态的完整分类时开创了现代动力系统理论，从而打开了一扇奇妙的大门。沿着这扇门，深入探险的数学家发现了越来越多神奇的现象。1975年，李天岩和约克发表了他们最深刻的研究成果。在那篇注定流芳百世的论文里，他们引入了术语“混沌（Chaos）”来描述离散动力系统周期解的一个奇妙的规律——时间不是连续变化，而是按整数步跳跃。不仅如此，早期的相关研究还表明，很多类似的动力系统会呈现出更加复杂的形态，其数学解虽然有一定的确定性，但也具备若干随机性。自此，混沌理论的基础框架开始形成。

事实上，自庞加莱对三体问题的突破性研究之后，人们陆续发现了更多的混沌现象，其中最著名的当属1963年气象学家洛伦兹发现的蝴蝶效应。洛伦兹在用计算机求解一个简化的大气对流模型时，发现这些解以不规则、甚至是随机的方式震荡。

同时，初值的极小波动会引起解的剧烈变化。这种奇异的现象后来成了人们耳熟能详的描述：一只巴西热带雨林中的蝴蝶煽动几下翅膀，可能在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。

图 洛伦兹的蝴蝶吸引子

混沌系统将人们带入了前所未有的窘境。很多基于现实问题的预测也变得无比困难。虽然短期的预测结果能符合现实，但长期的预测却无能为力。这也是天气预报的准确性随着时间而急剧衰减的原因。进一步，人们还发现，太阳系的动力学特性也是混沌的。人们预测的范围最多只能延伸到1000万年左右。1亿年后的太阳系命运已经不在人们的预知范围内。

然而，混沌虽然带来了模糊和混乱，却也在宇宙的演化中发挥着巨大的作用。比如，月球的潮汐让地球保持了稳定，否则地球表面的天气会出现混沌运动，导致冰川和暖期在短时间内交替出现。也因此，没有月亮的地球极有可能变成一个人间地狱，不再适合生命的居住。

2000年，美国克雷研究所向世界抛出了七大数学难题，每一个问题都被悬赏一百万美元，其中的难题之一就是描述流体运动的Navier-Stokes方程。

流体运动根据运动的复杂性分为层流和湍流。层流的运动相对平稳，湍流却突变毫无规律。湍流可能在流体的运动里导致灾难性的结果，比如大气层里的湍流是飞机遭遇危险的主要因素之一。尽管还存在着部分争议，湍流也被部分数学家认为是混沌的一种特殊现象。

流体运动作品（图片来源于网络）

那么，混沌究竟意味着什么？它在理论和现实中还有多少不为人知的秘密和应用？

其实，混沌并不是孤立的自然异类，早在19世纪末期，人们就曾凭借着天马行空的奇思妙想发现了同样诡异的理论。数学家魏尔斯特拉斯在1872年构造了一个函数，它处处连续，但是却处处没有导数。这表明一个物体可以做连续运动，运动轨迹却可以杂乱无章，任何时刻都没有确定的运动速度。

半个世纪以后，理查森在一篇论文里以“风有速度吗？”来描述这类奇特的数学现象。令人惊奇的是，这和数学上异军突起的分形理论紧密地联系在了一起。

每当冬季来临，雪花漫天纷飞。人们在显微镜下观察雪花，却发现微小的雪晶呈现出既规律又复杂的结构。雪晶的局部结构形态和其全局结构形态高度相似。

20世纪60年代，芒德布洛特认识到这类无限可分的精细结构具有重大的理论意义，遂将具有这种“自相似”结构的形体称为“分形”。具有分形特征的物体在直观上更是颠覆人们的想象，比如一条可以铺满整个空间的曲线，一条围住一个有限区域的无限长的曲线。

“分形”的每一个局部都是整体的一个微缩投影。渐渐地，人们在大自然中发现，原来处处都是造物主的分形杰作：山脉、河流、海洋、流云……由此而诞生了一门新的数学学科“分形学”，并派生出了“分形图形学”。人们发现，诸如树枝的形状、河流的分支，甚至股市的涨跌都是符合分形几何的描述。

在三体、蝴蝶效应中展现出来的混沌，连同几何学里大放异彩的分形思想，共同形成了今天的混沌理论。

如果说过去的科学理论是隐匿在象牙塔里的宝藏，优雅、和谐而壮美，它们解决的问题都是表象世界的统一，深具美感和封闭性，其自成一体的理论将复杂的世界还原成简单的公理，堪称确定性的辉煌。

那么，今日的科学却要面对真实的世界，那一系列无法由简单规则刻画和描述的规律、难以预测和掌控的现象，以及那些再也无法用经典的模型和方式来应对的情境。

诸如森林、海岛、渔场等等复杂的生态系统，又或者是海岸线、冰川、河流等复杂而不规则的结构，已经在大自然中存在了数亿年，人们熟悉它们的场景，感叹大自然的鬼斧神工，却始终没触及到大自然蕴含的科学真理。直到混沌理论的建立，人们对复杂性系统才有了深入的理论研究，短短几十年间，已经涌现出大量全新的数学方法与观点。

复杂性理论诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代，已经成为人们认识世界最强有力的工具之一。

尽管看起来无章可循，混沌却有其重要的应用——混沌控制。既然扰动会带来破坏性的结果，那么寻找合适的小扰动，也可以起到四两拨千斤的效果。

太空旅行中，通过混沌控制也许就能使用极少的燃料实现星际穿梭。混沌里的蝴蝶效应更可以在医学上一展宏图，诸如控制心律失常、抑制癫痫等等，甚至还能让湍流过渡为平稳的运动，减少飞机的危险。

与此同时，分形的诞生也很快在数学、理化、生物、大气、海洋以及社会学引起剧变，其影响力甚至波及音乐和美术。它呈现出的玄机和美感引发人们持续地探索。

混沌和分形等等复杂现象的出现，也成为牛顿的确定科学论终结的标志之一，科学也随之进入更加多元、复杂的时代。复杂系统的命运无法预测，已经从根本上改变了人们的世界观和方法论。科学的发展不能预知，人类自身的命运也一样。因此，未来世界才有无限可能性，等着后人去创造和开拓。 

参考文献：

《数学的故事》，伊恩.斯图尔特著,熊斌 汪晓勤 译,上海世纪出版股份有限公司, 上海辞书出版社。 ISBN: 978-7-5326-3859-8/o.69。

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出品：科普中国

制作：中国科学院数学与系统科学研究院 黄逸文

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