内容来源：选自《中国通史》
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天文学
宋朝历法一共改了十九次，是我国历史上历法改革频繁的一个朝代。历法的不断改革，反映了天文学研究的活跃。
宋朝天文学的发展可分为三个阶段。北宋初到神宗前，历法以崇天历为代表，主要成就是超新星的观测；神宗朝到北宋末，历法以纪元历为代表，主要成就是水运仪象台的制造；南宋时代以编撰统天历为著名。
北宋初，用后周王朴的钦天历。钦天历在天体运动的计算中提出了等加速运动的公式，是准确的。仁宗朝用崇天历前后达四十年。著名的天文学家楚衍参与崇天历的编撰。在司天监任职四十多年的天文学家杨惟德，在他的著述中曾一再介绍崇天历。崇天历的天文数据较接近天文实际。至和元年（一〇五四年）四月朔 有一次日全食。
当时在汴京观测这次日食是“日食既，至申乃见，食九分之余”。用崇天历推算食甚时间在申正一刻二十分，食分为九分半弱，与观测所得几乎相同。北宋又有纪元历，是天文学家姚舜辅等所编撰，它的求赤道坐标变换为黄道坐标的计算方法比较简易。
纪元历中还引进了四次方程式的算法。它的各项天文数据多为金大明历和元授时历所采用。北宋沈括提出了十二气历的编制方法，虽没有实行，但在历法史上无疑是一项卓越的成就。
北宋的天象观测很有成绩。对天空三十一大区（即三垣：紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿）恒星位置的观测共进行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元丰、绍圣和崇宁年间各进行过一次。元丰时的观测被画成星图，见于苏颂的《新仪象法要》和黄裳的天文图。
一二四七年（淳祐七年）黄图在乎江府复刊，即现存的苏州天文图。崇宁年间观测到的记录，部分载入纪元历内，所测二十八宿距度星的平均误差绝对值只有0°.15，已很精密。
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江苏苏州南宋石刻《天文图》
北宋有两次超新星的观测，一次是一〇〇六年（景德三年），一次是一〇五四年（至和元年）。前者是在司天监内观测到的，在骑官星西，相当今天蝎宫星座，形状如同半个月亮，四周有光芒，亮度可以鉴别物体。
后者是杨惟德观测到的。这星本来很暗淡，他观测时忽然亮起来，星的亮度和金星差不多，四周都是光芒，颜色已达到炽白状。这是因为星的内部结构突然变化而引起爆发，亮度增加千万倍所致。杨惟德观测到这颗超新星的位置在天关星附近，相当今金牛宫星座内、所以这超新星称为一○五四年金牛座超新星。
一〇〇二年（咸乎五年）司天监对狮子座流星雨的观测，一〇六四年（治平元年）沈括对陨星的观测，一〇六六年（治平三年）司天监对哈雷彗星的观测，都很有名。沈括对这次陨星的记录也很翔实。历史上以陨星为陨铁的解释，沈括是第一人。
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元代铜壶滴漏
北宋的天文仪器制造也有成就。在计时仪器方面，仁宗朝有燕肃造莲花漏，在很多州使用。莲花漏就是浮漏，用两个放水壶，一个受水壶，再用两根叫“渴乌”的细管，利用虹吸原理，把放水壶中的水，逐步放到受水壶中，使受水壶中水平面高度保持恒定。相等时间内受水壶的水流速度恒定，据以测定时间。
元祐年间，苏颂和韩公廉等制造水运仪象台。这是把测量仪器的浑仪，表演仪器的浑象和计时仪器集中在一起的一项划时代创作。这个水运仪象台分三层，高三丈，上层放浑仪，中层放浑象，下层是传动机械设置部分。
在报时的设置上又分五层木阁。古代以一天为一百刻，又一天有十二时辰，一夜有五更，一更有五筹（五夜）。这五层木阁都能报告出来。这个仪器用水力转动，吸收前人许多优点而发明了和钟表中相同的擒纵器，使这仪象台有节奏的按时转动，把报时、观象、测天同时表达出来。
刘弇（元丰二年进士）在《龙云集》卷二《太史箴并序》一文中说：“其后筑台，别置浑仪象，激金水其下，机擎轮吞排，晦斡明至，与造化分疾徐低昂。”推崇备至。
南宋改历，以宁宗朝杨忠辅的统天历为冠。统天历定一回归年的长度是365.2425日，和现代通用的格列高利历相同。后来元朝的授时历也同这个数据。统天历还提出了回归年日数长度变化的法则。
绍兴年间，王及甫曾制造假天仪，见他所著的《天经》。这假天仪整个形状象一个瓮，瓮里面“钻穴为星”，把我国看不到的南天星座部分作为瓮口，瓮用柱撑起，瓮口有四柱小梯，观看时可以扶梯进去。
这个瓮还有一根轴可以转动表演。元朝郭守敬造玲珑仪也是一个假天仪，是王及甫工作的继续。
金灭北宋，把纪元历也带到北方，成为金杨级编大明历的底本。一一八〇年（大定二十年），赵知微重修大明历。赵知微的贡献有两条，一是对太阳视运动的计算中初步用了内插法三次差的公式。二是对日月食食限的计算用了几何方法。这都是天文计算方面进步的措施。
契丹人耶律履修乙未历，没有实行。后来耶律履之子耶律楚材在元初修庚午历，庚午历内容虽十九采自赵知微的大明历，但耶律楚材在历法中提出了朴素的地球经度（里差）概念，也是我国古代天文学上的一项创见。又据《金史·天文志》，兴定五年（一二二一年）司天台内还有女真族天文学家夹谷德玉担任天象观测工作。
金朝从北宋得到的天文仪器，放在法物库内搁置了二十多年。一一五四年（贞元二年）始交司天台管理。贞祐南渡后没有搬回开封。又因当时铜的缺乏，在开封也没有造新的浑仪。
据《金史·章宗纪》，承安四年（一一九九年）有丑和尚进浮漏、水称、影仪、简仪等图，当时“命有司依式造之。”浮漏即指莲花漏。水称在北宋水运仪象台中约相同于天衡。影仪和简仪的内容不详（可能为后来郭守敬造简仪和景符时所据）。
明昌年间，张行简又造星丸漏，比较新颖。星丸漏北宋叫辊弹漏刻，很少记载，相传是后唐僧人文浩所发明。利用一铜丸，通过四个曲折的孔道，从上放入自下落出，保持恒定速度而测定时刻，在行军和旅途中应用。
后来元朝都城用的碑漏，也是星丸漏的一种。又据《金史·章宗纪》，泰和四年（一二〇四年）司天台长行张翼曾进《天象传》。长行是司天台内的散职官名，《天象传》当是天象记录的专书。
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郭守敬
元朝天文学以郭守敬等人编制授时历为其高潮。清代所编《畴人传·郭守敬传》说：“推步之术，测与算二者而已。简仪、仰仪、景符、几之制，前此言测候者未之及也；垛叠招差、勾股弧矢之法，前此言算造者弗能用也。
先之以精测，继之以密算，上考下求，若应准绳，施行于世，垂四百年。可谓集古法之大成，为将来之典要者矣。”这不独是对郭守敬等人的评价，也是我国古代天文学的总结。测是观测，代表仪象；算是历算，代表历法。先通过观测实践，再通过计算实践，所得结论是“若应准绳”，便以为法。
一二八〇年（至元十七年）授时历编成，郭守敬等人在给忽必烈的奏报中说：自西汉三统历到北宋纪元历共一千一百八十多年，历法改了七十次，其中新创法的有十三家。从纪元历到至元十七年又一百七十多年，授时历考正凡七事，新创法又五事。按授时历中考正七事都是对天文数据的重新测定。
包括冬至时刻、回归年长度、太阳的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太阳出入时刻。其中测二十八宿距度比北宋崇宁年间观测的还要精细。回归年长度则采用了统天历的数据而加以详细证明。创法五事都是对天文计算的改革，可归纳为两点，一是全面用内插法三次差计算并定出公式，即所谓“垛叠招差”。二是引进了球面直角三角形法，即所谓“立浑比量”。
元朝在天文学上还有一项重要的成就，即一二七九年（至元十六年）的大规模纬度测量。这次测量在二十七个观测站举行，地理纬度从北纬15°到65°。
观测河南登封元代观星台的结果在陕西行省、河南行省和中书省直辖地的十四个观测点用纬度值来比较，平均误差在半度以内。可见观测的精细可贵。
与天文学关系密切的数学，宋元时代也很发达，出现了好几位有成就的数学家。北宋有贾宪，南宋末有秦九韶和杨辉，金末有李冶，元初有朱世杰。秦、杨、李、朱是金元之际数学上的四大家。
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贾宪
贾宪是天文学家楚衍晚年的学生，做过右班殿直和左班殿直。时在沈括之前。王洙《谈录》上说：“贾宪运算亦妙，有书传于世。”贾宪在数学上的发明有二：一是开方作法本源图，就是指数为正整数的二项式定理系数表，从商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系数列成一个图，世称贾宪三角形。比西方同样的巴斯加三角形要早六百年。
二是增乘开方法，是解一元多次方程求正根的一种简便方法。这种方法也比西方为早。商除是一次，平方是二次（是面积），立方是三次（是体积），这都容易理解。再进一步碰到四次是什么，要突破这一点，确实很非凡，开四次方可以，则开多次方便可类推了。贾宪为我国古代代数学的发展奠定了基础。
贾宪以后，沈括在数学上也做了些工作。一项叫会圆术，就是已知弓形的弦和圆径求弧长。在我国历史上首先提出孤线与直线的关系，但沈括的结论还是一近似公式（这公式元朝郭守敬等人撰授时历时用到它）。又一项叫隙积术，用到一种高阶等差级数求和的方法。沈括还发明了指数相乘的法则。物理学上凹面镜成倒像的解释，沈括说箩家叫“格术”。天文学上推算五星运动的顺逆留合，沈括说算家叫“缀术”。测量学上的审方面势，沈括说算家叫“喜术”。当时对待数学和其他科学的关系，于此可见。
秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州从隐君子受数学。一二四七年（淳枯七年）著《数书九章》一书。他在著作中发展了贾宪的增乘开方法，解一个一元十次方程式，并附有算图。算图中列算式如层层剥笋，秩序井然，所以现在还有人把增乘开方法叫“秦九韶程序”。秦九韶还发明了整数论中一次同余式组的普遍解法，这就是闻名世界的中国剩余定理。
金代，数学上发明了天元术。大约金中时开始流行，之后得到迅速的推进。一一八四年（大定二十四年），平阳毕履道为了校订地理书用到当时流行的算法。又有平阳人蒋周著《益古》一书，记录了天元术。还有金都水监颁印的《河防通议》（约在明昌年间）也有算法讲到天元术。蒋周这部书已伏，《河防通议》中的算法可以从元人引用中得知。最早的天元术比较简单，立出算式只是解一个一元二次方程。天元术发明后，平阳、太原、东平、真定等地区广为传播。
天元术以“元”代表未知数X，以“太”代表常数项。列式时把元字写在算码的右侧，如11元即表示2x，或单写太，如11太也同。写了元便不写太，写了太便不写元。方程式的各项是从下而上，即太在元下，太是常数项，元是X项，元上是X2项，再上是X3项等等。太下是1/X（即X-1）项，再下是X-2项等等。也有记法从上而下恰恰相反。在用算筹排列时，正数用红色筹。负数用黑色筹。用算码时，正负数也用红黑色区别，但为了书写方便，可在算码的个位数加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元术的方法一般是根据问题中已有条件，立天元一（x）为未知数（所求数），最后列出方程式，解方程得数。至于解方程式在一元三次以上，就要用到贾宪的方法。
金末在真定府一带流传的一部数学著作叫《洞渊测圆》，指演算勾股容圆（直角三角形的内接圆）算题共有十三问。李冶根据此书加以推广，又集天元术的大成，写出了他的名著《测圆海镜》。
天元术出现后，很自然地发展为天地二元木，天地人三元术和天地人物四元术。这大概已是元代的事了。
现在流传下来的元代数学著作有：《锦囊启源》、《透廉细草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存辑本；《算法全能集》、《详明算法》、《算学启蒙》（一二九九年）、《四元玉鉴》（一三〇三年）存有足本。后两书都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝数学家的代表，也是当时世界上杰出的数学家之一。
本文编辑：慕编组成员（小端午）
